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Mengen mit Verknüpfungen

Von der Schule und auch aus dem alltäglichen Leben der Mathematik, kennt man sicherlich verschiedene Rechenregeln, mit welchen man Terme vereinfachen kann. Diese helfen oft ungemein. Zum Beispiel kann man mit Hilfe des Distributivgesetzes folgenden Term viel schneller ausrechnen als ohne:

\begin{displaymath}\left(\frac{1}{8}+\frac{13}{2}\right)\cdot \frac{8}{13}=\frac...
...13}+\frac{13}{2}\cdot \frac{8}{13}=\frac{1}{13}+4=4\frac{1}{13}\end{displaymath}

Auch ist die erste2.1 Binomische Formel eine mehrfache Anwendung des Distributivgesetzes

\begin{displaymath}(a+b)^{2}=(a+b)\cdot(a+b)=(a+b)\cdot a+ (a+b)\cdot b= a\cdot a+b\cdot a+a\cdot b+b\cdot b=a^{2}+2ab+b^{2}\end{displaymath}

In dem nun folgenden Kapitel wollen wir diese Rechenregeln, welche Axiome genannt werden, definieren. Diese Rechenregeln gelten auf Mengen mit dazugehörigen Verknüpfungen. Öfters fragt man sich, woher diese Axiome überhaupt kommen. Axiome haben die Eigenschaft, dass man sie einfach definiert und nicht beweist. Natürlich werden sie nicht willkürlich gewählt. Aber in der Anfängervorlesung begnügen wir uns zuerst einmal damit, dass sie einfach da sind.

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