Der Beweis läuft mit Hilfe des Austauschlemmas. Das Austauschlemma nimmt einen Vektor aus der Basis und fügt einen anderen ein:
Austauschlemma
Geben ist ein

Vektorraum

mit der Basis
und ein

mit
und
So ist
wieder eine Basis von

.
Man kann also
gegen
austauschen. (Die anderen

ohne

müssen nicht unbedingt 0 sein, können es aber.)
Beweis des Austauschlemmas
- Wir nehmen zur Vereinfachung der Schreibweise an, daß
ist. Wir zeigen also, daß
auch eine Basis von
ist.
- Alle Vektoren
lassen sich als Linearkombination der Basis3.2 herstellen:
- Da
können wir wie folgt umformen
- Nun können wir dies in
einsetzen
Die neue Basis ist zumindest ein Erzeugendensystem
- Zu zeigen ist jetzt noch die lineare Unabhängigkeit
Einsetzen von
:
Also
, da
linear unabhängig war (
) und
, da
.
linear unabhängig
Beweis des Austauschsatzes
Nachdem wir nun bewiesen haben, dass man einen Vektor

aus der Basis nehmen kann und gegen den Vektor

tauschen kann, wenn das dazugehörige

ist (kann man durch Umnummerieren an die richtige Stelle stellen), müssen wir beweisen, das es tatsächlich immer ein

für einen Vektor der alten Basis gibt, so dass wir die Vektoren nacheinander austauschen können: