In einem
![$\mathbb{K}-$](lineare_algebra_grundlagenimg368.png)
Vektorraum
![$V$](lineare_algebra_grundlagenimg369.png)
seinen eine Basis
und eine linear unabhängige Familie
gegeben.
Es ist
![$r\geq n$](lineare_algebra_grundlagenimg372.png)
. Man kann
![$n$](lineare_algebra_grundlagenimg373.png)
Vektoren der Basis durch die
![$n$](lineare_algebra_grundlagenimg374.png)
Vektoren der linear unabhängigen Familie ersetzen, so daß die neue Basis
![$B^{\ast}$](lineare_algebra_grundlagenimg375.png)
wieder linear unabhängig ist und eine Basis des Vektorraums
![$V_{K}$](lineare_algebra_grundlagenimg376.png)
ist. Nach eventueller Umnummerierung der Indizes kann man so schreiben:
oder im Spezialfall
![$n=r$](lineare_algebra_grundlagenimg378.png)
: