Hat ein Vektorraum eine endliche Basis, so ist jede Basis von endlich.
Je zwei Basen eines Vektorraums haben die gleiche Länge.
Basisergänzungssatz:
In einem endlich erzeugten Vektorraum seien linear unabhängige Vektoren
gegeben. Dann kann man
finden, so daß
eine Basis von ist.
Ist
eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen, so ist die Menge
auf jeden Fall linear abhängig. D.h. man kann keinen weiteren Vektor finden, der zu
linear unabhängig ist.
Basisaustauschsatz:
Sind
linear unabhängige Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen (d.h. sie sind eine Basis), so spannen
linear unabhängige Vektoren, die man aus Linearkombinationen der Vektoren
bilden kann, den gleichen Vektorraum auf.