Signalverarbeitung ::: Computeranimation

Eine Funktion heißt periodisch, falls es ein

gibt, so dass gilt

$\begin{displaymath}f(x)=f(x+p).\end{displaymath}$

Die Periode ist nicht eindeutig, denn Vielfache von

ergeben wieder Perioden.

Beschränkte Funktionen können wir einfach zu Perioden ergänzen. Wenn die Originalfunktion stetig war, riskieren wir dabei an den Schnittstellen Unstetigkeitsstellen. Durch Strecken können wir auch auf eine Periode von $2\pi$ kommen.

Fouriertransformation

Anschaulich: Eine Fouriertransformation ist ein mathematisches Prisma, welches eine Funktion

in verschiedene Frequenzen aufbricht, genauso wie ein Prisma das Licht in seine einzelnen Farbkomponenten aufbricht.

Die Funktion ist abhängig von der Zeit,
die durch Fouriertransformation erzeugte Funktion $\widehat{f}$ ist abhängig von der Frequenz.

Dabei muss

eine periodische Funktion sein. Es entsteht eine Fourierreihe, wenn man die einzelnen durch Fouriertransformation erzeugten Fourierpolynome aufeinander aufaddiert, die sich wieder der Originalfunktion

nähert.

Orthonormalbasen im Hilbertraum

Warum kann man eine Fouriertransformation überhaupt machen? Der Grund ist, dass wir Orthornormalbasen in dem Raum der $2\pi$ -periodischen Funktionen, welcher zusammen mit einem Skalarprodukt ein Hilbertraum ist, angeben können. Um eine periodische Fkt. dorthin zu bekommen müssen wir die Periode auf $2\pi$ skalieren, sowie die Fkt von $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$ laufen lassen. Die Orthornomalbasis für diesen Funktionsraum ist nun

$\begin{displaymath}e^{ikx}\end{displaymath}$

Formeln für Fouriertransformation

Erzeugnung der Fouriertransformation

$\begin{displaymath}\widehat{f}(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) \exp(-i \omega t) \,d t\end{displaymath}$

Rückgängigmachung der Fouriertransformation

$\begin{displaymath}f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\omega) \exp(+i \omega t) \,d \omega\end{displaymath}$

Wichtig ist, dass nur

und

-Zeichen vertauscht werden.

Fourierreihe

Mit Hilfe der Fourierreihe läßt sich eine Funktion

mit Hilfe ihrer Schwingungen immer weiter annähern. Hat die Funktion

Unstetigkeitsstellen, so tritt das Gibbsche Phänomen auf:

Das te Fourierpolynom $S_{n}$ einer Funktion aus einem Hilbertraum ist definiert als

$\begin{displaymath}S_{n}=D_{n}f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0}f(x)\sum^{n}_{k=-n}\exp(ikx)dx=\sum^{n}_{k=-n}\widehat{f}(k)\exp(ikx)\end{displaymath}$

Eine andere Darstellung für die Fourierreihe ist

$\begin{displaymath}f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{\infty}_{k=1}\left(a_{k}\cos{kx}+b_{k}sin(kx)\right)\end{displaymath}$

mit

$\begin{displaymath}a_{k}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)\cos(kt)dt\,\,\,\,\mbox{und}\,\,\,b_{k}=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)\sin(kt)dt\end{displaymath}$

Faltung

Faltung ist eine Art von Multiplikation von zwei Funktionen. Liefert eine Funktion, die die Überlappung von

und einer gespiegelten, verschobenen Funktion

darstellt

$\begin{displaymath}(f*g)(t):=\int f(\tau)g(t-\tau)d\tau\end{displaymath}$

Bei der diskreten Faltung wird das Integral durch die Summe ersetzt:

$\begin{displaymath}(f*g)(t):=\sum_{k} f(k)g(t-k)\end{displaymath}$

In dem $2\pi$ -periodischen Vektorraum kann man die Faltung wie folgt definieren

$\begin{displaymath}f*g(x):=\frac{1}{2\pi}\int^{+\pi}_{-\pi} f(t)g(x-t)dt\end{displaymath}$

somit kann man die Fourierkoeffizienten neu definieren als

$\begin{displaymath}f*e^{ikx}:=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)e^{ik(x-t)}dt=\widehat{f}(k)e^{ikx}\end{displaymath}$

Naive und schnelle Fouriertransformation

Die naive Fouriertransformation benötigt die Laufzeit $O(n^{2})$ , während die schnelle Fouriertransformation (FFT für Fast Fourier Transformation) eine Laufzeit von $O(n\log{n})$ benötigt, weshalb wir eine Fouriertransformation überhaupt machen können.

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