Unterabschnitte
Eine Funktion heißt periodisch, falls es ein

gibt, so dass gilt
Die Periode ist nicht eindeutig, denn Vielfache von

ergeben wieder Perioden.
Beschränkte Funktionen können wir einfach zu Perioden ergänzen. Wenn die Originalfunktion stetig war, riskieren wir dabei an den Schnittstellen Unstetigkeitsstellen. Durch Strecken können wir auch auf eine Periode von

kommen.
Anschaulich: Eine Fouriertransformation ist ein
mathematisches Prisma, welches eine Funktion

in verschiedene Frequenzen aufbricht, genauso wie ein Prisma das Licht in seine einzelnen Farbkomponenten aufbricht.
- Die Funktion
ist abhängig von der Zeit,
- die durch Fouriertransformation erzeugte Funktion
ist abhängig von der Frequenz.
Dabei muss

eine periodische Funktion sein. Es entsteht eine Fourierreihe, wenn man die einzelnen durch Fouriertransformation erzeugten Fourierpolynome aufeinander aufaddiert, die sich wieder der Originalfunktion

nähert.
Warum kann man eine Fouriertransformation überhaupt machen? Der Grund ist, dass wir Orthornormalbasen in dem Raum der

-periodischen Funktionen, welcher zusammen mit einem Skalarprodukt ein Hilbertraum ist, angeben können. Um eine periodische Fkt. dorthin zu bekommen müssen wir die Periode auf

skalieren, sowie die Fkt von

laufen lassen. Die Orthornomalbasis für diesen Funktionsraum ist nun
Erzeugnung der Fouriertransformation
Rückgängigmachung der Fouriertransformation
Wichtig ist, dass nur

und

-Zeichen vertauscht werden.
Mit Hilfe der Fourierreihe läßt sich eine Funktion

mit Hilfe ihrer Schwingungen immer weiter annähern. Hat die Funktion

Unstetigkeitsstellen, so tritt das
Gibbsche Phänomen auf:
Das
te Fourierpolynom
einer Funktion
aus einem Hilbertraum ist definiert als
Eine andere Darstellung für die Fourierreihe ist
mit
Faltung ist eine Art von Multiplikation von zwei Funktionen. Liefert eine Funktion, die die Überlappung von

und einer gespiegelten, verschobenen Funktion

darstellt
Bei der diskreten Faltung wird das Integral durch die Summe ersetzt:
In dem

-periodischen Vektorraum kann man die Faltung wie folgt definieren
somit kann man die Fourierkoeffizienten neu definieren als
Die naive Fouriertransformation benötigt die Laufzeit

, während die schnelle Fouriertransformation (FFT für Fast Fourier Transformation) eine Laufzeit von

benötigt, weshalb wir eine Fouriertransformation überhaupt machen können.