Unterabschnitte
Wir können eine Drehung mit Hilfe einer
- Drehachse
und
- einem Drehwinkel
Wir können den zu rotierenden Ortsvektor

in eine parallele und in eine senkrechte Komponente zu

zerlegen:
- Parallele Komponente:
- Senkrechte Komponente:
--
rotiert den Ortsvektor
auf Position
.
- Wir konstruieren einen Vektor
, der senkrecht zu
steht und senkrecht zu
steht, also in der Ebene liegt6:
- Berechne
gemäß
- Also
Quaternionen sind 4-Tupel reeller Zahlen, auf denen eine Multiplikation definiert ist. Sie besitzen dementsprechend

imaginäre Einheiten für die gilt:
Auf Quaternionen kann eine
Norm definiert werden
Einheitsquaternionen haben als Norm

.
Das
konjugierte Quaternion ist von der Form
Für ein Einheitsquaternion gilt, dass das Inverse das konjugierte Quaternion ist
Zwei Quaternionen lassen sich wie folgt multiplizieren
Mit Hilfe dieser Multiplikation können wir nun die Rotation eines Punktes

um eine Achse

erzeugen. Wir setzen
- Dabei ist
das rein imaginäre Quaternion, welches den zu rotierenden Punkt
darstellt. Die Koordindaten des Punktes
werden in den Imaginärteil des Quaternions abgebildet
.
- Bilde
auf das Einheitsquaternion
, wobei
normiert sein muss7.
- Die Operation
ergibt wieder ein rein imaginäres Quaternion, welches rotiert ist.
Eine Verkettung der Rotationen durch Quaternionenmultiplikation ist durchführbar

mit

.
Leider interpoliert die normale Quaternionenrotation nicht linear. Man kann sich jedoch mit der sphärischen linearen Interpolation implementiert in SLERP Abhilfe verschaffen. Es ist eine Laufvariable
![$u\in [0,1]$](img92.png)
anzugeben, über die linear interpoliert wird mit der Formel:

und

sind Einheitsquaternionen.
Fußnoten
- ... liegt6
- Das Kreuzprodukt erzeugt einen Vektor, der zu der Ebene, die durch beide Vektoren aufgespannt wird, senkrecht steht.
- ... muss7
- Man kann sehr einfach beweisen, dass wenn
normiert vorliegt, dieses Quaternion ein Einheitsquaternion ist.