F injektiv ⇔ Ker (F) = 0 ::: Lineare Algebra

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X → X Beweise für injektiv, surjektiv und bijektiv L injektiv ⇔ linear unabhängige Vektoren werden auf linear unabhängige Vektoren abgebildet

F injektiv ⇔ Ker (F) = 0

Sei $F:V\rightarrow W$ und $x,v_{1},v_{2},n\in V$ und $0\in W$
$\Rightarrow$ :
Da

injektiv hat jedes Bild genau ein Urbild.
Das Urbild von

sei

$\,\,\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $Ker(F)=\{n\}\Rightarrow F(n)=0$
Da

linear ist, muß gelten:

$\begin{displaymath}\begin {array}{cl} &F(x)+F(n)=F(x+n)\\ \Leftrightarrow&F(x)=... ...\Leftrightarrow&F(x)=F(x+n)\\ \Rightarrow&n=0\\ \end {array} \end{displaymath}$

Also

$\Box$

$\Leftarrow$ :
$Ker(F)\Leftrightarrow \{v\in V \vert F(v)=0\}$
Beweis der Injektivität: Da die Abbildung linear ist gilt:

$\begin{displaymath}\begin {array}{rl} &F(v_{1})=F(v_{2})\\ \Leftrightarrow&F(v_... ...,Ker(F)=0\,\,\,\Rightarrow&F(v_{1}-v_{2})=F(0)\\ \end {array} \end{displaymath}$

Somit ist $v_{1}=v_{2}$ .

$\Box$

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