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Basis

Die Familie der Vektoren $(v_{1},\ldots,v_{n})$ heißt Basis des Vektorraums $V$, wenn die einzelnen Vektoren der Familie
  • linear unabhängig zueinander sind
  • und wenn die Familie der Vektoren den Vektorraum $V$ ganz aufspannt, also ein Erzeugendensystem von $V$ ist:

\begin{displaymath}V=span(v_{1},\ldots,v_{n})\end{displaymath}


\begin{displaymath}\mbox{und} \,\,\,\, \lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}=0\Longrightarrow\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{n}=0\end{displaymath}

Somit ist ein Erzeugendensystem genau dann auch eine Basis, wenn die Vektoren des Erzeugendensystems linear unabhängig zueinander sind.