Seien
eine Familie von Vektoren in einem
Vektorraum. Jeder Vektor
der Form
heißt
Linearkombination von
.
Es folgen nun einige Beweise, zwischen den Begriffen ,,linear (un)abhängig'' und ,,Linearkombination''. Die Folgerungen dieser Beweise werden wahrscheinlich den meisten Lesern schon in Fleisch und Blut übergegangen sein. Sie wissen einfach, dass es so ist. Eigentlich müssen wir das aber erst einmal beweisen:
Satz: Wenn die Vektoren der Familie
linear unabhängig zueinander sind, dann kann jeder Vektor
durch sie nur auf eine bestimmte Weise kombiniert werden
Aus
folgt also
Beweis:
Wegen der linearen Unabhängigkeit gilt nun:
Somit kann der Vektor nur auf eine Weise kombiniert werden.
Umgekehrt kann man beweisen:
Satz: Wenn jeder Vektor nur auf eine Weise aus der Familie
linear kombiniert werden kann, dann sind die Vektoren der Familie linear unabhängig zueinander.
Nur auf eine Weise kombinierbar bedeutet, dass wenn
gilt,
gilt und somit
.
Da
für
sind die Vektoren der Familie linear unabhängig.
Satz: Wenn die Vektoren einer Familie
jedoch linear abhängig sind, dann gibt es mehr als eine Möglichkeit einen Vektor
zu kombinieren. Lineare Abhängigkeit bedeutet ja, dass für mindestens ein
gilt:
Beweis:
Wenn wir nun den Vektor
haben, können wir ihn auf folgende Weise kombinieren:
Wir erhalten hieraus
. Nun können wir jedoch die oben genannte Linearkombination für
einsetzen und erhalten
Also ist
eine neue Möglichkeit
zu kombinieren und somit haben wir schon
Möglichkeiten.
Wir können auch die folgenden beiden Tatsachen beweisen:
Satz: Wenn sich kein Vektor der Familie
linear aus der Familie
kombinieren läßt, so sind die Vektoren der Familie
linear unabhängig zueinander.
Beweis:
Angenommen, sei seien linear abhängig. Das bedeuet, dass für
für mindestens ein
gilt
Das bedeutet
Dann läßt sich
aus
linear kombinieren. Widerspruch zur Voraussetzung. Also müssen die Vektoren linear unabhängig sein.
Ebenso gilt umgekehrt:
Satz: Wenn die Vektoren der Familie
linear unabhängig zueinander sind, so läßt sich keiner der Vektoren aus dem anderen linear kombinieren.
Beweis:
Angenommen, das geht doch; es läßt sich ein Vektor
linear kombinieren. Dann gilt:
Daraus folgt durch Subtrahieren von
:
Wir sehen, dass
ist, da
. Also wären die Vektoren der Familie linear abhängig. Widerspruch. Es ist also nicht möglich, dass einer der Vektoren Linearkombination der anderen ist, weil sonst die lineare Unabhängigkeit verletzt ist.