Bestimmung der Dimension des Lösungsraumes eines homogenen Gleichungssystems ::: Lineare Algebra

Bestimmung der Dimension des Lösungsraumes eines homogenen Gleichungssystems

Zur Bestimmung der Dimension des Lösungsraumes eines homogenen Gleichungssystems können wir die Dimensionsformel zur Hand nehmen. Da jede Matrix

einen Endomorphismus $f_{A}$ auf einer bestimmten Basis darstellt gilt für den Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems

$\begin{displaymath}Lsg(A,0)=Kern (f_{A})\end{displaymath}$

und so können wir mit der Dimensionsformel

$\begin{displaymath}\dim V=\dim(Kern(f))+\dim(Bild(f))\Leftrightarrow \dim(Kern(f))=\dim V - \dim (Bild(f))\end{displaymath}$

die Dimension des Lösungsraumes bestimmen.
Die Dimension ist

entweder : Dann gibt es nur die triviale Lösung, nämlich den Nullvektor.
oder : Dann gibt es freie Variablen. Die Größe der Dimension ist die Anzahl der freien Variablen, die wir haben.